Математичні властивості
Золотий перетин можна обчислити безпосередньо з означення:
Дане рівняння дає . Підставляючи цю рівність у ліву частину:
Скоротивши отримаємо:
Помноживши обидві частини на після перестановки отримаємо:
φ2 − φ − 1 = 0.
Це квадратне рівняння має два розв'язки, один з яких є додатнім
- ірраціональне число алгебри, рішення квадратного рівняння:
x2 − x − 1 = 0, звідки, виходять співвідношення:
φ2 = φ + 1
- представляється через тригонометричні функції:
- представляється у вигляді нескінченного ланцюжка квадратного коріння:
- представляється у вигляді нескінченного ланцюгового дробу
відповідними дробами якої служать відносини послідовних чисел Фібоначчі . Таким чином
При цьому члени послідовності збігаються до
поперемінно - один елемент знизу, наступний згори і т.д. Наприклад
Формула Біне виражає за допомогою значення числа Фібоначчі
в явному вигляді:
Окрім цього, послідовні степені числа задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:
Спіраль Фібоначчі (Рисунок 2) є наближенням золотої спіралі.
Рисунок 2 - Спіраль Фібоначчі
є знаменником геометричної прогресії, кожен член якої, починаючи з третього, рівний сумі двох попередніх.
Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі (Рисунок 3), який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.Пентаграм містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.
Рисунок 3 - Золотий перетин у правильній пентаграмі
Геометрична побудова. Золотий перетин відрізка AB можна побудувати таким чином: у точці B відновлюють перпендикуляр до AB, відкладають на ньому відрізок BC, рівний половині AB, на відрізку AC відкладають відрізок CD, рівний BC, і нарешті, на відрізку AB відкладають відрізок AE, рівний AD (рисунок 3). Тоді
Подібні статті
Зимостійкість і морозостійкість деяких сортів озимої пшениці в Притисянській низовині
В успішному розвитку
зернового господарства велике значення має отримання високих і стійких урожаїв
озимої пшениці, яка займає значну вагу в зерновому балансі країни.
При використанні
агротехніки і внесенні добрив озима пшениця зимості ...
Комахи прісних водойм
Ентомологія
– наука, яка безупинно розвивається, постійно збагачується новими даними і
новими ідеями. За 15 років ентомологія зробила величезний крок вперед у
розумінні багатьох аспектів екології, фізіології, поведінки і взаємозв`язків ком ...